電験三種準備編数学の道具｜比・接頭語・三角比・ベクトル・複素数・グラフ

※本記事の参考文献には、Amazonアソシエイトのリンク（アフィリエイト広告）を含みます。

最終確認：2026年10月24日

電験三種の理論・電力・機械の計算で使う数学の道具を、中学の数学から1段ずつ確かめる辞書です。比・接頭語（せっとうご）・三角比・複素数と、位相（いそう）・時定数（じていすう）などのグラフの読み方を並べます。

分数・比・割合 ── 比は何倍か、割合は全体を1としたときの大きさ
- 電験で使う所
- 計算の型
10の何乗と接頭語 ── k・M は大きく、m・μ・n・p は小さくする印
- 電験で使う所
- 計算の型
式の変形と連立方程式 ── 両辺に同じ操作をして、知りたい量を1つ残す
- 電験で使う所
- 計算の型
平方根と三平方の定理 ── 直角三角形の斜辺の2乗は、ほかの2辺の2乗の和
- 電験で使う所
- 計算の型
三角比とラジアン ── sin・cos・tan は辺の比、角は弧の長さでも測る
- 電験で使う所
- 計算の型
ベクトル ── 矢印は向きと長さ、足し算は矢印をつなげて描く
- 電験で使う所
- 計算の型
複素数 ── 矢印を横と縦の2つの数で書き、j を掛けると90°回る
- 電験で使う所
- 計算の型
正弦波のグラフ ── 高さの最大が最大値、山から山までが周期、ずれが位相
- 電験で使う所
- 計算の型
指数関数と ε ── 同じ時間ごとに同じ割合で減り、時定数で約37 %になる
- 電験で使う所
- 計算の型
対数とデシベル ── 対数は桁を数える道具、電力が10倍なら10 dB
- 電験で使う所
- 計算の型
変化の割合 ── グラフの傾きが、1秒あたりにどれだけ変わるか
- 電験で使う所
- 計算の型
グラフの面積 ── 電流のグラフの下の面積が電荷、ためた量は面積で読む
- 電験で使う所
- 計算の型
まとめ
次に読む
参考文献

分数・比・割合 ── 比は何倍か、割合は全体を1としたときの大きさ

比と比例・反比例：10を3：2に分けると6と4、比例は一方が2倍なら他方も2倍の直線、反比例は一方が2倍なら他方が半分の曲線

言葉	意味	例
比	片方がもう片方の何倍か	6：4は、6÷4で1.5倍
割合	全体を1としたときの大きさ	10のうちの6は0.6
比例（ひれい）	一方が2倍なら、他方も2倍	抵抗が同じときの電圧と電流
反比例（はんぴれい）	一方が2倍なら、他方は半分	電圧が同じときの抵抗と電流
逆数（ぎゃくすう）	1をその数で割った数	4の逆数は0.25

全体を比で分けるときは、全体に「自分の比÷比の合計」を掛けます。比は「何倍か」を表す数で、比例と反比例は倍率の向きが逆です。

反比例は「掛けると一定」の関係です。片方を2倍にすると、もう片方は2の逆数の0.5倍になります。
抵抗の逆数（流れやすさ）を考えると、反比例を比例に直して考えられます。

電験で使う所

分圧と分流：直列の電圧は抵抗の比、並列の電流は逆の比で分かれる
コンデンサの直列・並列：直列の電圧は、容量の逆の比で分かれる
分流器と倍率器：測る範囲を何倍に広げるかで、足す抵抗が決まる
電流がつくる磁界：直線の電流の磁界は、距離に反比例する

計算の型

例1：10 Vを3：2に分けます。比の合計は5なので、10×3÷5＝6 Vと、10×2÷5＝4 Vです。
3 Ωと2 Ωの直列に10 Vをかけたときの分圧の式も、同じ分け方です。

V_{1} = 10 V \times \frac{3 Ω}{3 Ω + 2 Ω} = 6 V

V₁：R₁ にかかる電圧（電圧降下）〔V〕　V₀：全体の電圧（電源電圧）〔V〕　R₁：1つ目の抵抗〔Ω〕　R₂：2つ目の抵抗〔Ω〕

例2：電圧が同じで抵抗を4倍にすると、電流は4の逆数の0.25倍になります。
間違えやすい所：比の合計で割るのを忘れて、10×3＝30とする。
間違えやすい所：反比例を「引き算で減る」と考える。2倍したときに半分になる関係です。

10の何乗と接頭語 ── k・M は大きく、m・μ・n・p は小さくする印

大きくする接頭語	10の何乗	例
k（キロ）	10³（1000倍）	6.6 kVは6600 V
M（メガ）	10⁶（100万倍）	1 MWは1000 kW
G（ギガ）	10⁹（10億倍）	1 GWは1000 MW

小さくする接頭語	10の何乗	例
m（ミリ）	10⁻³（1000分の1）	5 mAは0.005 A
μ（マイクロ）	10⁻⁶（100万分の1）	2 μFは2×10⁻⁶ F
n（ナノ）	10⁻⁹（10億分の1）	1000 pFは1 nF
p（ピコ）	10⁻¹²（1兆分の1）	100 pFは0.1 nF

計算の前に、接頭語を10の何乗に直してそろえます。10の何乗どうしの掛け算は、右肩の数（指数（しすう））の足し算になり、割り算は引き算になります。

10³は10を3回掛けた1000で、10⁻³は1を10で3回割った0.001です。10⁰は1です。
接頭語は3桁ごとに並んでいます。1つ隣へ移ると、1000倍か1000分の1になります。
小文字のmは1000分の1、大文字のMは100万倍です。

電験で使う所

抵抗率と温度係数：kmやmm²を、mの単位にそろえてから式に入れる
平行板コンデンサ：pF（ピコファラド）やμFを、Fに直して計算する
ディジタル計器とA-D変換：パルスの数 2.0×10³÷1.0×10³ のように、10の何乗どうしを割って比を出す

計算の型

例1：10³×10⁴は、右肩の数を足して10⁷です。10⁶÷10²は、引いて10⁴です。
例2：2 μFのコンデンサに100 Vをかけたときの電荷を出します。μFを10⁻⁶ Fに直すと、2×10⁻⁶×100＝2×10⁻⁴ Cです。

Q = 2 μF \times 100 V = 2 \times 10^{−4} C

Q：電荷〔C〕　C：静電容量〔F〕　V：電圧〔V〕

間違えやすい所：10⁻³×10⁻³を10⁻⁹とする。右肩の数は掛けずに足すので、10⁻⁶です。
間違えやすい所：μFをFに直さずに、2×100＝200 Cとする。

式の変形と連立方程式 ── 両辺に同じ操作をして、知りたい量を1つ残す

したいこと	両辺にする操作	結果
電流を出す	オームの法則の両辺を抵抗で割る	電流＝電圧÷抵抗
抵抗を出す	両辺を電流で割る	抵抗＝電圧÷電流
足してある数を消す	両辺から同じ数を引く	反対側へ移ると引き算になる
知りたい量が2つ	式を2本立てて、片方を消す	残った1つが求まる

等式は、両辺に同じ数を足す・引く・掛ける・割る操作をしても成り立ちます。知りたい量が2つなら式を2本立て、片方を消してから解きます。

言葉の式　電圧＝抵抗 × 電流

V = R I

V：電圧（抵抗の両端の電位差・電圧降下）〔V〕　R：抵抗〔Ω〕　I：電流〔A〕

等式はてんびんと同じで、両側に同じことをすれば釣り合ったままです。ただし、0で割ることはできません。
数を等号の反対側へ移すことを移項（いこう）と言い、足し算は引き算に、掛け算は割り算に変わります。
2本の式を足したり引いたりして1つの量を消すのが加減法、片方の式を他方に入れるのが代入法です。どちらも同じ答えになります。

電験で使う所

合成抵抗：全体の抵抗から、並列の相手の抵抗を求める
キルヒホッフの法則：電流や電位を文字で置き、式を立てて解く

計算の型

例1：知りたい数をxとして、x＋3＝10です。両辺から3を引くと、xは10−3＝7です。
例2（連立方程式（れんりつほうていしき））：2本の枝の電流の和が5 A、差が1 Aです。
2本の電流をI₁・I₂と置くと、式はI₁＋I₂＝5（和が5）と、I₁−I₂＝1（差が1）の2本です。
2本の式を足すとI₂が消え、2×I₁＝6になります。
I₁は6÷2＝3 Aで、I₂は5−3＝2 Aです。
間違えやすい所：移項で符号を変え忘れる。＋3を反対側へ移すと−3です。
間違えやすい所：片方の辺だけを割る。両辺を同じ数で割ります。

平方根と三平方の定理 ── 直角三角形の斜辺の2乗は、ほかの2辺の2乗の和

辺の比	3つの角	電験で出る形
3：4：5	直角と、ほかの2つ	抵抗3 Ωとリアクタンス4 Ωで5 Ω
1：1：√2	45°・45°・90°	同じ大きさで直角の2つの矢印の合成
1：√3：2	30°・60°・90°	三相の√3倍や、30°の力率（りきりつ）

直角三角形では、斜辺の2乗が、ほかの2辺の2乗の和に等しくなります（三平方の定理（さんへいほうのていり））。斜辺の長さは、その和の平方根（へいほうこん）です。

言葉の式　合成の大きさ＝ √（横² ＋縦²）

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

A：合成の大きさ（複素数・ベクトルの絶対値）　a：横の成分（実部）　b：縦の成分（虚部）

言葉の式　インピーダンス＝ √（抵抗² ＋リアクタンス²）（Z² ＝ R² ＋ X²）

Z = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

Z：インピーダンス〔Ω〕　R：抵抗〔Ω〕　X：リアクタンス（まとめた値）〔Ω〕

√9は、2乗すると9になる正の数で、3です。√2は約1.414、√3は約1.732です。
直角三角形の3つの辺のうち、直角の向かいにあるいちばん長い辺が斜辺です。
斜辺と1辺が分かれば、残りの辺は「斜辺の2乗−分かっている辺の2乗」の平方根です。

電験で使う所

RLC直列回路：抵抗の電圧とリアクタンスの電圧を、三平方で合成する
平衡三相回路の計算：1相分のインピーダンスの大きさを出す
クーロンの法則と静電誘導：力は距離の2乗に反比例するので、距離の比は電荷の比の平方根になる

計算の型

例1：抵抗3 Ωとリアクタンス4 Ωの直列のインピーダンスです。

Z = \sqrt{{(3 Ω)}^{2} + {(4 Ω)}^{2}} = 5 Ω

例2：6 Ωと8 Ωなら、6×6＋8×8＝100で、√100＝10 Ωです。3：4：5の2倍の形です。
例3：斜辺が10、1辺が8なら、残りの辺は10×10−8×8＝36の平方根で、6です。
間違えやすい所：√（9＋16）を√9＋√16＝7とする。先に足してから平方根を取るので、5です。

三角比とラジアン ── sin・cos・tan は辺の比、角は弧の長さでも測る

三角比とラジアン：半径1の円で角30°の矢印の先の高さはsin30°＝0.5、横はcos30°≒0.866で、弧の長さπ/6がその角のラジアン

三角比（さんかくひ）	辺の比	30°・45°・60°の値
sin（サイン）	高さ÷斜辺	0.5・約0.707・約0.866
cos（コサイン）	底辺÷斜辺	約0.866・約0.707・0.5
tan（タンジェント）	高さ÷底辺	約0.577・1・約1.732

度	ラジアン（らじあん）	円の上では
360°	2π rad	1周
180°	π rad	半周
90°	π/2 rad	4分の1周
30°	π/6 rad	12分の1周

三角比は、直角三角形の辺の比です。角は、半径1の円の弧の長さ（ラジアン）でも測ります。

言葉の式　角周波数＝ 2π × 周波数

ω = 2 π f

ω：角周波数〔rad/s〕　f：周波数〔Hz〕

π（パイ）は円周率で、約3.14です。半径1の円の周の長さは2πなので、1周の角を弧の長さで2π radと数えます。
1秒あたりに回る角が角速度（かくそくど）です。1秒にf回まわれば、1秒に回る角は2πのf倍です。交流では角周波数（かくしゅうはすう）と呼びます。
半径1の円で角を回すと、矢印の先の高さがsin、横の位置がcosになります。

電験で使う所

正弦波交流：回る矢印の高さと、角周波数の2πf
交流電力と力率：力率は、電圧と電流のずれの角のcos
Y結線とΔ（デルタ）結線：30°（π/6 rad）のずれと、√3倍の関係
三相電力と二電力計法：30°から力率の角を引いた角と、足した角のcos

計算の型

例1：斜辺10 Aの電流の矢印が、横の軸から30°傾いています。横の成分は10×cos30°で約8.66 A、縦の成分は10×sin30°で5 Aです。
例2：50 Hz（ヘルツ）の角周波数です。

ω = 2 π \times 50 Hz = 314.2 rad/s

間違えやすい所：sinとcosを逆にする。cosは角に接する底辺の側、sinは角の向かいの高さの側です。
間違えやすい所：π/6 radを6°と読む。πが180°なので、30°です。

ベクトル ── 矢印は向きと長さ、足し算は矢印をつなげて描く

ベクトルの足し算：大きさ10 Nで60°の2つの力は、矢印をつなげても平行四辺形を描いても同じ約17.3 Nの矢印になり、長さの和20 Nにはならない

比べること	ベクトル（べくとる）	スカラ（すから）
持つもの	大きさと向き	大きさだけ
例	力・電界・交流の電圧の矢印	抵抗・電荷・エネルギー
足し算	矢印をつなげて描く	数をそのまま足す

ベクトルの足し算は、1本目の矢印の先に2本目の根元をつなぎ、始点から終点へ引いた矢印が答えです。2本で平行四辺形を描き、対角線を引いても同じ答えになります。

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

言葉の式　tan φ ＝縦 ÷ 横

tan φ = \frac{b}{a}

φ：矢印の角度（偏角・位相角）〔rad〕　a：横の成分（実部）　b：縦の成分（虚部）

言葉の式　合成の大きさ＝ 2 × 1つ分の大きさ × cos（挟む角 ÷ 2）

F' = 2 F \cos (\frac{θ}{2})

F′：合成後の大きさ（合力・合成磁界・合成電界など。単位は合成する量と同じ）　F：1つ分の大きさ（力〔N〕・磁界〔A/m〕・電界〔V/m〕など）　θ：2つのベクトルが挟む角〔rad〕

直角に交わる2本の矢印なら、合成の大きさは三平方の定理、向きはtanで出せます。
向きの違う矢印の合成は、長さの和より短くなります。長さの和に等しいのは、向きがそろうときだけです。
引き算は、引く矢印の向きを逆にしてから足します。

電験で使う所

クーロンの法則と静電誘導：2つの電荷から受ける力を合成する
磁気のクーロンの法則：磁極が受ける力を矢印で合成する
フェーザ表示：同じ周波数の電圧の波を、矢印の足し算で合成する
RLC並列回路：抵抗・コイル・コンデンサの電流を矢印で合成する

計算の型

例1：横に3、縦に4の矢印を足します。

A = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

A：合成の大きさ（複素数・ベクトルの絶対値）　a：横の成分（実部）　b：縦の成分（虚部）

向きは、横の軸からの角のtanが4÷3で、約1.33です。
例2：大きさ10 Nの2つの力が、60°の角で働きます。
合成の大きさは、2×10×cos30°で約17.3 Nです。cosに入れるのは、挟む角の半分です。
間違えやすい所：向きの違う矢印の長さを、そのまま3＋4＝7と足す。

複素数 ── 矢印を横と縦の2つの数で書き、j を掛けると90°回る

複素数の矢印：3＋j4は横3・縦4の矢印で、jを掛けるたびに長さ5のまま反時計回りに90°回り、−4＋j3、−3−j4、4−j3になる

掛ける数	矢印の回り方	1の矢印が向かう先
j	反時計回りに90°	真上（j）
j×j	180°（向きが逆）	真左（−1）
−j	時計回りに90°	真下（−j）

複素数（ふくそすう）は、矢印を横の数（実部（じつぶ））と縦の数（虚部（きょぶ））の組で書いたものです。jを掛けると、矢印は反時計回りに90°回ります。

言葉の式　インピーダンス＝抵抗＋ j × リアクタンス

\dot{Z} = R + j X

Z：インピーダンス〔Ω〕　R：抵抗〔Ω〕　X：リアクタンス〔Ω〕　j：虚数単位

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

jは虚数単位（きょすうたんい）です。電気では、電流のiと紛れないようにjと書きます。
jを2回掛けると180°回り、矢印の向きが逆になります。だからj×jは−1です。
横に実部、縦に虚部をとった平面が複素平面（ふくそへいめん）です。矢印の長さが絶対値（ぜったいち）です。

電験で使う所

記号法：コイルの電圧が電流より90°進むことを、jを掛けて表す
ブリッジの平衡：交流のブリッジで、実部どうし・虚部どうしを等しくおく

計算の型

例1：3＋j4の大きさは、横3・縦4の矢印の長さです。

A = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

A：合成の大きさ（複素数・ベクトルの絶対値）　a：横の成分（実部）　b：縦の成分（虚部）

例2：足し算は、実部どうし・虚部どうしを足します。（3＋j4）＋（1−j2）は4＋j2です。
例3：3＋j4にjを掛けると、j3＋j×j4で、−4＋j3です。大きさは5のまま、矢印が90°回りました。
間違えやすい所：j×jを＋1とする。−1なので、実部の符号が変わります。

正弦波のグラフ ── 高さの最大が最大値、山から山までが周期、ずれが位相

正弦波のグラフ：回る矢印の先の高さを時間に沿って写すと正弦波になり、矢印の長さが最大値、1回転が周期で、右にずれた波が遅れ

グラフで読む所	量	記号と単位
山のいちばん高い所	最大値（さいだいち）	`V_m`〔V〕
山から次の山まで	周期（しゅうき）	`T`〔s〕
1秒間に繰り返す波の数	周波数（しゅうはすう）	`f`〔Hz〕
ある瞬間の高さ	瞬時値（しゅんじち）	`v`〔V〕
2つの波の山のずれ	位相差（いそうさ）	`φ`〔rad〕

正弦波（せいげんは）は、回る矢印の先の高さを、時間に沿って描いた波です。2つの波では、先に山が来るほうが位相が進んでいます。

言葉の式　周波数＝ 1 ÷ 周期

f = \frac{1}{T}

f：周波数〔Hz〕　T：周期〔s〕

言葉の式　瞬時値＝最大値 × sin（角周波数 × 時間）

v = V_{m} sin ω t

v：瞬時値〔V〕　V_m：最大値〔V〕　ω：角周波数〔rad/s〕　t：時間〔s〕

矢印が1周すると、波は山と谷を1回ずつ通って元に戻ります。この時間が周期です。
横軸が時間なので、左（早い時刻）に山がある波が進み、右に山がある波が遅れです。
φ（ファイ）は位相のずれの角です。1周期のずれが2π radに当たります。

電験で使う所

正弦波交流：最大値・周期・周波数・位相を、式とグラフで読む
オシロスコープ：画面の目盛から、周期と最大値を読む
指示電気計器：波の形と、計器が指す値の関係
発振と変調：同じ位相で戻すと発振する

計算の型

例1：周期が20 msの波の周波数です。

f = \frac{1}{20 ms} = 50 Hz

例2：50 Hzの波で、山の頂上は周期20 msの4分の1の5 msです。矢印が90°（π/2 rad）回った所です。
間違えやすい所：山から谷までを周期とする。周期は、山から次の山までです。
間違えやすい所：右に山がある波を進みとする。後から山が来る波は遅れです。

指数関数と ε ── 同じ時間ごとに同じ割合で減り、時定数で約37 %になる

指数関数の減り方：時定数1つ分ごとに0.368倍ずつ減って0.368・0.135・0.050になり、充電は時定数1つ分で約63.2%まで上がる

経過時間	放電の電圧（はじめを1）	充電の電圧（最終値を1）
0	1	0
時定数の1倍	約0.368	約0.632
時定数の2倍	約0.135	約0.865
時定数の3倍	約0.050	約0.950
時定数の5倍	約0.007	約0.993

指数関数（しすうかんすう）は、同じ時間ごとに同じ割合で増えたり減ったりする変化です。時定数1つ分で、放電は約36.8%に減り、充電は約63.2%まで進みます。

言葉の式　時定数＝抵抗 × 静電容量

τ = R C

τ：時定数〔s〕　R：抵抗〔Ω〕　C：静電容量〔F〕

言葉の式　コンデンサの電圧＝放電前の電圧 × ε の −t/τ 乗

v_{C} = E ε^{- \frac{t}{τ}}

v_C：コンデンサの電圧〔V〕　E：放電の始めの電圧（充電が終わったときの電源電圧）〔V〕　t：放電を始めてからの時間〔s〕　τ：時定数〔s〕　ε：ネイピア数（自然対数の底、約 2.718。e とも書く）

言葉の式　コンデンサの電圧＝電源電圧 ×（1 − ε の −t/τ 乗）

v_{C} = E (1 - ε^{- \frac{t}{τ}})

v_C：コンデンサの電圧〔V〕　E：電源電圧〔V〕　t：スイッチを入れてからの時間〔s〕　τ：時定数〔s〕　ε：ネイピア数（自然対数の底、約 2.718。e とも書く）

例えば1秒ごとに半分になる量は、100、50、25、12.5と減ります。引く量は減っても、割合は同じままです。
ネイピア数（ねいぴあすう）は約2.718の数です。教科書では、電圧のeと紛れないようにε（イプシロン）と書きます。eとも書きます。この記事の式もεで書きます。
式のεの右肩には、経過時間を時定数で割った数が、負の符号付きで入ります。時定数1つ分たつごとに0.368倍（1÷2.718）になる、という意味です。
時定数の記号τは、タウと読みます。

電験で使う所

RC回路の時定数：コンデンサの充電・放電の電圧のカーブ
RL回路の時定数：コイルの電流の立ち上がりのカーブ

計算の型

例1：100 Vに充電したコンデンサを放電します。時定数は2 sで、4 s後の電圧を出します。
4 sは時定数の2倍なので、100に0.368を2回掛けて、約13.5 Vです。

v_{C} = 100 V \times ε^{- \frac{4 s}{2 s}} = 13.53 V

例2：同じ回路を100 Vで充電すると、2 s（時定数1つ分）後は約63.2 Vです。

v_{C} = 100 V \times (1 - ε^{- \frac{2 s}{2 s}}) = 63.21 V

間違えやすい所：放電で時定数1つ分たつと0.632倍とする。0.632は充電で届く割合で、放電は0.368倍です。
間違えやすい所：時定数2つ分を0.368の2倍（0.736）とする。0.368を2回掛けて、約0.135です。

対数とデシベル ── 対数は桁を数える道具、電力が10倍なら10 dB

比（倍）	電力の比のとき	電圧・電流の比のとき
1	0 dB	0 dB
2	約3 dB	約6 dB
10	10 dB	20 dB
100	20 dB	40 dB
1000	30 dB	60 dB

常用対数（じょうようたいすう）は、10を何乗すればその数になるかを表す数です。dB（デシベル）は、電力の比なら常用対数の10倍、電圧・電流の比なら20倍です。

言葉の式　電圧利得［dB］＝ 20 × log10（電圧増幅度）（常用対数の20倍）

G = 20 \log_{10} A_{v}

G：電圧利得〔dB〕　A_v：電圧増幅度〔倍〕　log10：常用対数

100は10の2乗なので、100の常用対数は2です。1000なら3、10なら1、1なら0です。
掛け算は、常用対数では足し算に変わります。増幅器を続けてつなぐと、倍率は掛け算、dBは足し算です。
同じ抵抗で比べると、電力は電圧の2乗に比例します。電圧が10倍なら電力は100倍で、どちらで数えても20 dBになるように、電圧には20倍を使います。
電力の比をdBにする式（電力の比の常用対数の10倍）も、同じ考え方です。2の常用対数は約0.301なので、電力2倍は約3 dBです。

電験で使う所

小信号増幅回路：電圧増幅度を電圧利得（dB）に直し、段の数だけ足す

計算の型

例1：電圧増幅度が100倍の増幅器の電圧利得です。100の常用対数は2なので、20×2＝40 dBです。
例2：電力が1000倍になる増幅器です。1000は10の3乗なので、3の10倍で30 dBです。
例3：電圧利得20 dBの増幅器を2段つなぐと、20＋20＝40 dBです。倍率は10倍の2回掛けで100倍です。
間違えやすい所：電圧の比に10倍を使う。電圧・電流は20倍、電力は10倍です。
間違えやすい所：2段の利得を20×20＝400 dBとする。dBは足し算です。

変化の割合 ── グラフの傾きが、1秒あたりにどれだけ変わるか

変化の割合：電流が0.2 sで4 A増える区間は傾き20 A/sで0.5 Hのコイルに10 V、電流が一定の区間は傾き0で0 V、減る区間は向きが逆の起電力

電流のグラフの形	傾き（変化の割合）	コイルに生じる起電力（きでんりょく）
右上がりの直線	正で一定	一定の大きさ
水平な直線	0	0
右下がりの直線	負で一定	一定の大きさで、向きが逆
曲線	場所ごとに違う	傾きが急な所ほど大きい

変化の割合は「変わった量÷かかった時間」で、グラフの傾きです。傾きが0の所では、変化で生じる誘導起電力（ゆうどうきでんりょく）も0です。

言葉の式　誘導起電力の大きさ＝自己インダクタンス × 電流の変化 ÷ かかった時間

e = L \frac{Δ I}{Δ t}

e：自己誘導起電力（コイルの端子電圧の大きさ）〔V〕　L：自己インダクタンス〔H〕　ΔI：電流の変化〔A〕　Δt：電流の変化にかかった時間〔s〕

言葉の式　誘導起電力の大きさ＝巻数 × 磁束の変化 ÷ かかった時間

e = N \frac{Δ Φ}{Δ t}

e：誘導起電力（大きさ）〔V〕　N：コイルの巻数〔回〕　ΔΦ：コイルを貫く磁束の変化〔Wb〕　Δt：磁束の変化にかかった時間〔s〕

直線なら、どこで測っても傾きは同じです。曲線では、その点にちょうど触れるように引いた直線の傾きを使います。
起電力を決めるのは、電流や磁束（じそく）の大きさではなく、その傾きです。大きくても変わらなければ、起電力は0です。
傾きの単位は「縦の単位÷横の単位」です。電流と時間ならA/s（1秒あたりのアンペア）です。

電験で使う所

電磁誘導：起電力は、磁束の変化の割合と巻数で決まる
インダクタンス：自己誘導の起電力は、電流の変化の割合に比例する
電位と等電位面：電界の強さは、距離に対する電位の傾き
RL回路の時定数：電流のカーブの傾きが、時間とともに小さくなる

計算の型

例1：コイルの電流が、0.2 sの間に0 Aから4 Aまで直線で増えます。傾きは4÷0.2で、1秒あたり20 Aです。
自己インダクタンスが0.5 H（ヘンリー）なら、起電力は次のとおりです。

e = 0.5 H \times \frac{4 A}{0.2 s} = 10 V

例2：その後、電流が4 Aのまま続く間は、傾きが0なので起電力も0です。
間違えやすい所：電流がいちばん大きい所で、起電力もいちばん大きいと読む。大きいのは傾きが急な所です。

グラフの面積 ── 電流のグラフの下の面積が電荷、ためた量は面積で読む

グラフの面積：2 Aを3 s流した長方形の面積が電荷6 C、10 μFを100 Vまで充電した電荷と電圧の三角形の面積が静電エネルギー0.05 Jで、長方形の半分

縦軸	横軸	グラフの下の面積
電流〔A〕	時間〔s〕	電荷（でんか）〔C〕
電力〔W〕	時間〔s〕	電力量（でんりょくりょう）〔W·s〕
電圧〔V〕	ためた電荷〔C〕	静電エネルギー（せいでんえねるぎー）〔J〕

縦軸×横軸が意味を持つグラフでは、グラフの下の面積が、ためた量になります。電荷と電圧が比例して増えるときは三角形なので、ためたエネルギーは長方形の半分です。

言葉の式　電力量＝電力 × 時間

W = P t

W：電力量〔W·s〕　P：電力〔W〕　t：時間〔s〕

言葉の式　静電エネルギー＝ ½ × 電荷 × 電圧＝ ½ × 静電容量 × 電圧² ＝電荷² ÷（2 × 静電容量）

W = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{Q^{2}}{2 C}

W：静電エネルギー〔J〕　C：静電容量〔F〕　V：極板間の電圧〔V〕　Q：蓄えられた電荷〔C〕

言葉の式　電磁エネルギー＝ ½ × 自己インダクタンス × 電流²

W = \frac{1}{2} L I^{2}

W：電磁エネルギー〔J〕　L：自己インダクタンス〔H〕　I：電流〔A〕

一定の電流なら、グラフは長方形で、電荷は電流×時間です。電流が変わるときも、面積を数えれば電荷が分かります。
コンデンサは0 Vから充電されます。電圧が0から直線で上がるので、面積は三角形になり、½が付きます。
波の平均値（へいきんち）は、面積を時間で割った高さです。面積を同じにならした長方形の高さ、と考えます。

電験で使う所

静電エネルギー：電荷と電圧の三角形の面積が、ためたエネルギー
電磁エネルギー：コイルも同じ三角形の考えで、半分が付く
実効値と平均値：平均値は、面積を時間で割った高さ
ディジタル計器とA-D変換：電圧をためて測る方式の考え方

計算の型

例1：2 Aの電流を3 s流すと、長方形の面積で2×3＝6 Cです。
例2：10 μFのコンデンサを100 Vまで充電したときのエネルギーです。

W = \frac{1}{2} \times 10 μF \times {(100 V)}^{2} = 0.05 J

例3：高さ10 Vが2 msだけ続き、周期が5 msの方形波です。平均値は面積を周期で割った高さです。

V_{av} = \frac{10 V \times 2 ms}{5 ms} = 4 V

V_av：平均値〔V〕　H：方形波の高さ〔V〕　t_on：高さが続く時間〔s〕　T：周期〔s〕

間違えやすい所：静電エネルギーを電荷×電圧として、½を忘れる。

まとめ

比は何倍かを表し、計算の前に接頭語を10の何乗にそろえ、式は両辺に同じ操作をして解きます。

直角三角形は三平方とsin・cos・tanで解き、矢印と複素数で交流の電圧と電流を足します。

指数のカーブは時定数ごとに同じ割合で変わり、変化の割合は傾き、ためた量は面積で読みます。

次に読む

次へ進む：直流回路①の論点
関連：電気と力学のきほん｜交流の基本の論点｜過渡現象の論点

参考文献

日高邦彦・堀桂太郎・井上弘司『First Stage シリーズ新訂電気回路入門』実教出版交流回路の章（複素数と極座標表示）・過渡現象の章 Amazonで見る
高木茂孝・堀桂太郎『First Stage シリーズ新訂電子回路概論』実教出版第2章（増幅度と利得） Amazonで見る
『みんなが欲しかった！電験三種理論の教科書&問題集』TAC出版初版（2018年） CH04 交流回路の章（SEC05 記号法による解析）最新版をAmazonで見る

内容の誤りに気づいた方へ：誤りの報告フォーム

NEXT記事マップへ

電験三種は、法規と理論の記事マップで案内しています。

記事マップ法規電気事業法・電技・施設管理 この記事の地図理論準備編・直流・交流・電子理論

資格試験の地図に戻る →高圧ガス・危険物・エネルギー管理士・電験三種の全コース