熱力学の基礎と第一法則の論点｜比熱・状態量・第一法則・工業仕事・エンタルピー【エネ管・熱Ⅱ】

熱Ⅱの熱力学の基礎の論点（熱量・状態量・第一法則・仕事・エンタルピー）を、表と例題で並べました。課目Ⅰで問われる熱量と第一法則の基礎もここで扱います。

理想気体の計算は理想気体の状態変化、第二法則は第二法則・エントロピー・エクセルギーの記事にあります。

熱量・比熱・顕熱と潜熱 ── 顕熱と潜熱は分けて計算して足す
- 例題
系・状態量と単位 ── 熱と仕事は状態量ではない
第一法則と内部エネルギー ── 熱は内部エネルギーの増加と外への仕事に分かれる
- 例題
膨張の仕事と工業仕事 ── P-V線図の横軸側と縦軸側の面積
- 例題
定常流れ系のエネルギー式とエンタルピー ── 流れの収支はエンタルピーで数える
- 例題

熱量・比熱・顕熱と潜熱 ── 顕熱と潜熱は分けて計算して足す

熱量・比熱・顕熱と潜熱：大気圧で20℃の水2 kgを全部蒸発させる熱は、温度が上がる段の顕熱670 kJと100℃のままの潜熱4,514 kJを足した5,184 kJ

熱の種類（温度）	求め方	水の値
顕熱（温度が変わる）	Q＝c·m·(t₂−t₁)	比熱 c 約4.19 kJ/(kg·K)
潜熱・融解熱（0℃のまま）	Q＝m×融解熱	約335 kJ/kg（氷→水）
潜熱・蒸発熱（標準大気圧で100℃のまま）	Q＝m×蒸発熱	約2,257 kJ/kg（水→水蒸気）
熱容量	C＝m·c〔J/K〕	物体全体を1 K上げる熱

なぜ：相変化が起きている間は、熱が入っても温度は上がらず、熱はすべて状態を変えるのに使われます。温度差から計算できるのは、温度が動く部分だけです。温度が動く段（顕熱）と止まる段（潜熱）を別々に求め、最後に足します。

問われる形	正誤	ポイント
同じ質量に同じ熱を入れると、比熱の小さい物質のほうが温度は大きく上がる	○	Δt＝Q/(c·m)。比熱に反比例
熱容量は物質1 kgを1 K上げる熱で、単位は J/(kg·K)	×	物体全体の量で J/K（C＝m·c）。1 kgあたりは比熱
大気圧で沸騰している水が、温度を変えずに受け取る熱は顕熱	×	温度が変わらない熱は潜熱（蒸発熱）
放熱のない容器で 80℃の水1 kgと20℃の水2 kgを混ぜると、平均の50℃になる	×	質量で重みを付ける：(1×80＋2×20)/3＝40℃
1気圧の水の蒸発熱は、氷の融解熱より小さい	×	蒸発熱約2,257、融解熱約335 kJ/kg

例題

大気圧で20℃の水2 kgを100℃まで温め、さらに全部を蒸発させるのに要る熱を求めます。

①顕熱：Q₁＝c·m·Δt＝4.19×2×(100−20)＝670 kJ。

②潜熱：Q₂＝m×蒸発熱＝2×2,257＝4,514 kJ。

③足す：Q＝670＋4,514＝5,184 kJ≒5.2 MJ。

④桁を確かめる：蒸発の潜熱が全体の約9割。80 K温めるより、100℃のまま蒸発させるほうがずっと多くの熱が要る。

比熱は温度・圧力・加熱の条件で変わる。固体・液体ではほぼ一定とみてよいが、気体は条件で大きく違うので定圧比熱と定容比熱を使い分ける。
比熱の単位が J/(kg·K) でも、温度差は℃の差をそのまま使える。T＝t＋273.15 の 273.15 は差をとると消える。
化学反応で出入りする熱は反応熱。燃料の燃焼は反応熱を取り出している。
蒸発熱は圧力で変わる。圧力ごとの値は蒸気表で読む。

関連：蒸気の状態（圧縮液から過熱蒸気まで）

系・状態量と単位 ── 熱と仕事は状態量ではない

系・状態量と単位：同じ状態1から状態2へ移るとき、状態量の差は道筋によらないが、仕事は線の下の面積で道筋ごとに違い、熱もQ＝ΔU＋Wで道筋ごとに違う

区分	例	性質
強度性状態量	圧力・温度	物質の量を変えても値は変わらない
容量性状態量	体積・内部エネルギー・エンタルピー・エントロピー	物質の量に比例する。1 kgあたりは「比」を付けて小文字（比体積 v＝V/m）
状態量でない	熱量・仕事	始めと終わりが同じでも、途中の道筋で値が変わる
系の種類	閉鎖系（閉じた系）／開放系（開いた系）	物質は出入りせず熱と仕事だけ／物質も出入りする

なぜ：状態量はいまの状態だけで決まるので、出発点と到着点が同じなら、差はどの道を通っても同じです。熱と仕事は、状態から状態へ移る途中でやり取りされる量で、どの道を通ったかで量が変わります。物体が「いまの熱量」や「いまの仕事」を持っているわけではないので、状態量になりません。

問われる形	正誤	ポイント
熱量や仕事が状態量でないのは、始めと終わりが同じでも途中の道筋で量が変わるから	○	状態量はいまの状態だけで決まる
圧力や温度は、物質の量を2倍にすると値も2倍になる	×	量によらない強度性状態量。量に比例するのは体積など
圧力〔Pa〕と体積〔m³〕の積はエネルギーと同じ単位 J になる	○	N/m²×m³＝N·m＝J
水柱1 mの圧力は、水銀柱1 mの圧力より大きい	×	水銀柱のほうが約13.6倍大きい

状態量は、任意の2つが決まれば残りがすべて決まる（ふつうは圧力と温度を使う）。
単位：Pa＝N/m²、J＝N·m、W＝J/s。1 mH₂O＝9.807 kPa、1 mHg＝133.3 kPa、1 atm＝101.325 kPa。
熱力学の計算は絶対圧力と絶対温度で行う。ゲージ圧で与えられたら大気圧を足し、℃には 273.15 を足す。
比熱は一般には状態量でないが、体積一定・圧力一定と条件を決めた比熱（定容比熱 c_v・定圧比熱 c_p）は状態量になる。

第一法則と内部エネルギー ── 熱は内部エネルギーの増加と外への仕事に分かれる

第一法則と内部エネルギー：閉じた系に入った熱120 kJは、内部エネルギーの増加75 kJと、ピストンを押して外へする仕事45 kJに分かれる。熱は入るとき＋、仕事は出るとき＋

場面	式	符号の約束・読み方
熱Ⅱの書き方	Q＝ΔU＋W	熱は系に入るとき＋、仕事は系から出るとき＋（膨張で＋、圧縮で−）
課目Ⅰの書き方	ΔU＝Q＋W	W は外から気体に与えた仕事（圧縮で＋）
断熱（Q＝0）	ΔU＝−W（熱Ⅱの書き方）	膨張すると内部エネルギーが減って温度が下がる
サイクル1周	ΔU＝0	正味に受け取った熱＝正味の仕事（W＝Q₁−Q₂）

なぜ：エネルギーは生まれも消えもしません。閉じた系に入った熱は、中にたまる分（内部エネルギーの増加）と、外へ出ていく分に分かれるしかありません。外へ出る分は、ピストンを押す仕事です。入った熱＝たまった分＋出ていった仕事、これが第一法則です。

問われる形	正誤	ポイント
熱Ⅱの式 Q＝ΔU＋W で気体を圧縮したときは、W に負の値を入れる	○	仕事は系から出るとき＋
閉じた系に 80 kJ の熱を入れ、気体が外へ 30 kJ の仕事をすると、内部エネルギーは 110 kJ 増える	×	ΔU＝80−30＝50 kJ
外からエネルギーをもらわずに動き続ける機関が作れないのは、第二法則による	×	第一法則（エネルギー保存）。第二法則が否定するのは第二種永久機関
断熱圧縮で温度が上がるのは、熱の出入りがないまま外から仕事を受け、内部エネルギーが増えるから	○	Q＝0 なので受けた仕事が全部 ΔU
外から気体に与えた仕事を W とする書き方では、ΔU＝Q−W になる	×	どちらも入るエネルギーなので ΔU＝Q＋W

例題

閉じた系の気体の内部エネルギーの変化を、熱Ⅱの書き方（Q＝ΔU＋W）で求めます。

①加熱して膨張：熱 120 kJ が入り、気体が外へ 45 kJ の仕事をした。ΔU＝Q−W＝120−45＝75 kJ（増える）。

②冷やしながら圧縮：熱 10 kJ が出て（Q＝−10）、外から 30 kJ の仕事を受けた（W＝−30）。ΔU＝−10−(−30)＝20 kJ（増える）。

③課目Ⅰの書き方で確かめる：②は加えた熱 −10、与えた仕事 30 なので ΔU＝−10＋30＝20 kJ。同じ答えになる。

④符号を確かめる：②で W を＋30 のまま入れると −40 kJ になる。出入りの向きを先に決めてから数字を入れる。

内部エネルギーは、分子の運動エネルギーと、分子どうしの力による位置エネルギーを合わせたもの。状態量で、U〔J〕、1 kgあたりは比内部エネルギー u〔J/kg〕。
断熱した容器の水を羽根車でかき混ぜると、加えた仕事は全部が水の温度上昇になる（ジュールの実験。熱と仕事が同じエネルギーだと示した）。
サイクルを1周すると元の状態に戻るので ΔU＝0。正味に受け取った熱と正味の仕事が等しい。

膨張の仕事と工業仕事 ── P-V線図の横軸側と縦軸側の面積

膨張の仕事と工業仕事：同じP-V線図の可逆な膨張で、経路と横軸の間が閉じた系の仕事∫P dV、縦軸の間が工業仕事−∫V dP（∫P dV＋P₁V₁−P₂V₂）

比べる点	閉じた系の膨張の仕事	流れ系の工業仕事
式	W＝∫P dV	W_t＝−∫V dP（可逆、速度の変化を無視）
P-V線図の面積	経路と横軸（体積の軸）の間	経路と縦軸（圧力の軸）の間
等圧変化	P(V₂−V₁)	0
等容変化	0	V(P₁−P₂)
理想気体の等温変化	両方が等しい（P₁V₁＝P₂V₂）	両方が等しい
圧縮・昇圧	負（外から仕事を受ける）	負（動力が要る）

なぜ：ピストンが dx 動くと、力 PA×距離 dx＝P dV の仕事をします。これを足し合わせたのが閉じた系の仕事 ∫P dV です。流れ系では、流体が入るとき押し込まれる仕事 P₁V₁ と、出るとき押し出す仕事 P₂V₂ も出入りします。可逆で速度の変化を無視すると、外へ取り出せる仕事（工業仕事）は ∫P dV＋P₁V₁−P₂V₂ です。これを P-V 線図で見ると、縦軸側の面積 −∫V dP になります。

問われる形	正誤	ポイント
P-V 線図で、可逆変化の経路と縦軸の間の面積が、閉じた系の仕事 ∫P dV に等しい	×	横軸との間。縦軸との間は −∫V dP
実際の膨張の仕事は、摩擦や乱れで一部が熱になるので、可逆として計算した値より小さい	○	不可逆な膨張は仕事が減る
圧力 0.4 MPa 一定で体積が 0.05 m³ から 0.15 m³ に増えたとき、気体が外へする仕事は 60 kJ	×	0.4×10⁶×(0.15−0.05)＝40 kJ。終わりの体積を掛けない
理想気体の可逆な等温変化では、流れ系の工業仕事と閉じた系の膨張の仕事は等しい	○	P₁V₁＝P₂V₂ で、差し引く分が0
圧縮機のように圧力を上げる可逆な流れでは、−∫V dP が正になり、流体が外へ仕事をする	×	dP＞0 なので負。外から仕事を受ける

例題

気体が圧力 0.3 MPa 一定のまま、体積 0.05 m³ から 0.20 m³ まで可逆的に膨張します。閉じた系の仕事と、同じ変化を流れ系で起こしたときの工業仕事を求めます。

①膨張の仕事：W＝P(V₂−V₁)＝0.3×10⁶×0.15＝45,000 J＝45 kJ。

②押し込みと押し出し：P₁V₁＝0.3×10⁶×0.05＝15 kJ、P₂V₂＝0.3×10⁶×0.20＝60 kJ。

③工業仕事：45＋15−60＝0。圧力が変わらないので縦軸側の面積（−∫V dP）も0で、一致する。

④桁を確かめる：MPa×m³＝MJ なので 0.3×0.15＝0.045 MJ＝45 kJ。MPa を Pa に直さずに J と書くと、桁が大きくずれる。

工業仕事は、状態変化で生じる仕事から、系に出入りするのに要る仕事を差し引いた、外へ取り出せる仕事。
−∫V dP の形は導ける。速度の変化を無視したエネルギー式 q＝h₂−h₁＋w_t と、可逆変化の dq＝dh−v dP を比べる。
閉じた系の膨張の仕事 ∫P dV は、一般に「絶対仕事」とも呼ばれる。
圧縮では体積が減る（右から左へ進む）ので ∫P dV は負になり、「出る仕事を＋」の約束と合う。

関連：定常流れ系のエネルギー式とエンタルピー

定常流れ系のエネルギー式とエンタルピー ── 流れの収支はエンタルピーで数える

定常流れ系のエネルギー式とエンタルピー：流体はuと一緒に押し込みの仕事Pvも運ぶので、u＋Pvをまとめたエンタルピーhで入る分と出る分を数える

装置（定常流れ）	1 kgあたりの収支（位置の差は無視、w は流速）	読み方
一般形	h₁＋w₁²/2＋q＝h₂＋w₂²/2＋w_t	入る分＝出る分
加熱器・ボイラ（仕事なし、速度の変化小）	q＝h₂−h₁	加えた熱はエンタルピーの増加
タービン（断熱、速度の変化小）	w_t＝h₁−h₂	取り出す仕事はエンタルピーの減少
ノズル（断熱、仕事なし）	w₂²/2−w₁²/2＝h₁−h₂	速さが増えた分だけ h が下がる
絞り（弁・オリフィス）	h₁＝h₂	前後でエンタルピーが等しい

なぜ：流体は系に入るとき、自分の内部エネルギー u に加えて、後ろから押し込まれる仕事 Pv も持ち込みます。出るときも同じように Pv を持ち出します。u と Pv はいつも一緒に出入りするので、まとめて h＝u＋Pv（エンタルピー）で数えます。u・P・v はどれも状態量なので、h も状態量です。

問われる形	正誤	ポイント
流れの収支をエンタルピーで書くのは、流体が内部エネルギーと一緒に押し込み・押し出しの仕事も運ぶから	○	h＝u＋Pv
比エンタルピーは、比内部エネルギーから圧力と比体積の積を引いた h＝u−Pv	×	足す。h＝u＋Pv
仕事のやり取りがなく速度の変化も無視できる流れで、4 kg/s の流体に 240 kW の熱を加えると、比エンタルピーは 60 kJ/kg 増える	○	240÷4＝60 kJ/kg
熱も仕事もやり取りしないノズルで流速が上がると、出口の比エンタルピーも大きくなる	×	速さが増えた分だけ h は下がる
エンタルピーは熱量と同じく道筋で値が変わるので、状態量ではない	×	u・P・v が状態量なので u＋Pv も状態量