化学プラント大全 
熱Ⅱの理想気体の論点（状態式・比熱・等容等圧等温・断熱とポリトロープ・絞りと混合）を、表と例題で並べました。熱と仕事の基礎は熱力学の基礎と第一法則の記事にあります。
理想気体の状態式とガス定数 ── ガス定数は一般ガス定数÷分子量
| 気体（分子量の概略） | ガス定数 R〔J/(kg·K)〕 | 1 kmol の体積（273.15 K・101.325 kPa） |
|---|---|---|
| 水素 H₂（2） | 約4,126 | 22.414 m³ |
| 窒素 N₂（28） | 約296.9 | 22.414 m³ |
| 空気（29） | 約287.1 | 22.414 m³ |
| 二酸化炭素 CO₂（44） | 約189.0 | 22.414 m³ |
| どの気体も | R＝R0/M（R0＝8,314.4 J/(kmol·K)） | 種類によらず同じ |
なぜ：同じ温度・圧力なら、一定の体積に入る気体の kmol 数は種類によりません（アボガドロの法則）。だから kmol で書いた PV＝nR0T の R0 は、どの気体でも同じです。質量で書き直すと n＝m/M なので、R＝R0/M が気体ごとに変わります。
| 問われる形 | 正誤 | ポイント |
|---|---|---|
| 気体ごとのガス定数は、一般ガス定数をその気体の分子量で割って求める | ○ | R＝R0/M |
| 水素は分子量が小さいので、ガス定数は空気より小さい | × | 分子量に反比例なので大きい |
| 分子量28の窒素のガス定数は、8,314÷28 から約297 kJ/(kg·K) | × | 約297 J/(kg·K)（0.297 kJ/(kg·K)） |
| 質量 m〔kg〕の理想気体の状態式は、一般ガス定数を使って PV＝mR0T と書ける | × | 質量なら PV＝mRT。R0 を使うなら PV＝nR0T |
| 状態式には、ゲージ圧に大気圧を足した絶対圧力と、℃に273.15を足した絶対温度を使う | ○ | 熱力学の計算は絶対値で |
例題
内容積 5 m³ のタンクに、窒素（分子量28）が絶対圧力 0.4 MPa、27℃で入っています。質量を求めます。
①ガス定数：R＝8,314/28＝296.9 J/(kg·K)。
②絶対温度：T＝27＋273.15＝300.15 K。
③質量：m＝PV/(RT)＝0.4×10⁶×5/(296.9×300.15)＝22.4 kg。
④kmol で確かめる：n＝PV/(R0T)＝0.801 kmol。これに分子量28を掛けると 22.4 kg で一致する。
- 温度一定で PV が一定（ボイルの法則）、圧力一定で V/T が一定（シャルルの法則）。2つを合わせたのが PV＝mRT。
- 実在の気体には厳密には成り立たないが、常温・常圧の気体なら工学上の誤差は小さい。この式が成り立つ気体を理想気体という。
- 標準状態の 1 kmol は約22.4 m³。燃焼計算で使う 22.4 m³N はこの値。
- J/(kg·K) と kJ/(kg·K) を取り違えると1000倍ずれる。
関連：燃焼反応式と物質量・体積
定圧比熱・定容比熱と比熱比 ── 定圧比熱は膨張の仕事の分だけ大きい
| 気体 | 比熱比 κ（理論値） | cv と cp（R を単位に） |
|---|---|---|
| 単原子（アルゴン・ヘリウム） | 1.667 | cv 1.5R、cp 2.5R |
| 2原子（窒素・空気など） | 1.400 | cv 2.5R、cp 3.5R |
| 3原子以上（CO₂ など） | 1.333 | cv 3R、cp 4R |
| どの気体も | κ＝cp/cv | cv＝R/(κ−1)、cp＝κR/(κ−1)、cp−cv＝R |
なぜ：理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まります。1 K 上げるのに中へためる熱は、体積一定でも圧力一定でも同じ cv です。圧力一定ではさらに膨らんで、外へ P dv＝R dT の仕事をします。その分だけ熱が多く要り、cp＝cv＋R になります。
| 問われる形 | 正誤 | ポイント |
|---|---|---|
| 理想気体では、定圧比熱と定容比熱の差がガス定数に等しい | ○ | cp−cv＝R |
| 定圧比熱が大きいのは、圧力一定だと同じ温度上昇でも内部エネルギーが多く増えるから | × | 増え方は同じ。差は膨張の仕事の分 |
| 比熱比を κ とすると、定容比熱は κR/(κ−1) で表される | × | cv＝R/(κ−1)。κR/(κ−1) は cp |
| 比熱比の理論値は、分子を作る原子の数が多いほど小さい | ○ | 1.667 → 1.400 → 1.333 |
| 理想気体の内部エネルギーとエンタルピーは、温度が同じなら圧力や体積が違っても同じ値 | ○ | どちらも温度だけの関数 |
例題
二酸化炭素（R＝0.189 kJ/(kg·K)、κ＝1.30）の定容比熱と定圧比熱を求めます。
①定容比熱：cv＝R/(κ−1)＝0.189/0.30＝0.630 kJ/(kg·K)。
②定圧比熱：cp＝κcv＝1.30×0.630＝0.819 kJ/(kg·K)。
③差を確かめる：0.819−0.630＝0.189 で、R に戻る。
④実在の値と比べる：0℃の CO₂ は cp 約0.819、cv 約0.630 kJ/(kg·K) で合う。実際の κ は3原子の理論値 1.333 より少し小さい。
- 内部エネルギーが温度だけで決まることは、真空へ膨張させても温度が変わらない実験で示された（ジュールの法則）。
- du＝cvdT、dh＝cpdT。理想気体なら、等容でない変化でも Δu＝cvΔT。
- 空気（0℃）は cp 1.005、cv 0.717、R 0.287 kJ/(kg·K)、κ 約1.40。
関連：等容・等圧・等温変化
等容・等圧・等温変化 ── 変化の種類で熱の行き先が変わる
| 変化（状態量の関係） | 仕事 W | 熱 Q の行き先 |
|---|---|---|
| 等容（P/T 一定） | 0 | 全部が内部エネルギー：Q＝mcv(T2−T1) |
| 等圧（V/T 一定） | P(V2−V1)＝mR(T2−T1) | エンタルピーの増加：Q＝mcp(T2−T1) |
| 等温（PV 一定） | mRT ln(V2/V1)＝mRT ln(P1/P2) | 全部が仕事：Q＝W（ΔU＝0） |
なぜ：第一法則は Q＝ΔU＋W で、理想気体の ΔU は温度だけで決まります。体積が変わらなければ W＝0 なので、熱は全部 ΔU になります。温度が変わらなければ ΔU＝0 なので、熱は全部 W になります。
| 問われる形 | 正誤 | ポイント |
|---|---|---|
| 体積一定で加熱すると外への仕事は0で、加えた熱は全部が内部エネルギーの増加になる | ○ | Q＝mcvΔT |
| 圧力一定の変化で出入りする熱は mcv(T2−T1) で計算する | × | mcp(T2−T1)＝m(h2−h1) |
| 理想気体を等温で膨張させるとき、温度が変わらないので熱の出入りもない | × | 外へした仕事と同じ量の熱を受け取る |
| 圧力一定のまま理想気体を0℃から273℃まで温めると、体積はほぼ2倍になる | ○ | 273.15 K → 546.15 K。V/T 一定 |
| 温度一定のまま理想気体の圧力を2倍にすると、体積も2倍になる | × | 反比例なので 1/2 |
例題
空気 1 kg を 300 K から変化させます。R 0.287、cv 0.717、cp 1.005 kJ/(kg·K) とします。
①等容で 350 K へ：Q＝0.717×50＝35.9 kJ、W＝0。
②等圧で 350 K へ：Q＝1.005×50＝50.3 kJ、W＝0.287×50＝14.4 kJ。
③等温（300 K）で体積を3倍に：W＝0.287×300×ln3＝94.6 kJ、Q＝W＝94.6 kJ、ΔU＝0。
④確かめる：②の Q−W＝50.3−14.4＝35.9 kJ は①と同じ。同じ温度上昇なら、ΔU は変化の種類によらない。
- 等温変化は、熱をやり取りしながらゆっくり変化させるもの。等温で圧縮するときは、加えた仕事と同じ量の熱を外へ出す必要がある。
- 等温では V2/V1＝P1/P2。ln の中の比の向きに注意する。
- 等圧の熱 Q＝mcpΔT は、ΔU と膨張の仕事 mRΔT の和になっている。
関連：エントロピーとT-s線図
断熱変化とポリトロープ変化 ── 断熱圧縮で温度上昇、PVⁿ一定が一般形
| ポリトロープ指数 n | PVⁿ＝一定 が表す変化 | 熱の出入り |
|---|---|---|
| 0 | 等圧（P 一定） | あり |
| 1 | 等温（T 一定） | あり（Q＝W） |
| κ | 可逆断熱（PVκ 一定） | なし |
| ∞ | 等容（V 一定） | あり |
| 1 と κ の間 | ポリトロープ変化 | 比熱 cn＝cv(n−κ)/(n−1) が負 |
なぜ：断熱では Q＝0 なので、第一法則から W＝−ΔU です。膨張して外へ仕事をすれば内部エネルギーが減って温度が下がり、圧縮されれば温度が上がります。温度まで一緒に動くので、P-V 線図の曲線は等温より急になります（κ＞1）。
| 問われる形 | 正誤 | ポイント |
|---|---|---|
| 理想気体の可逆断熱変化では T2/T1＝(P2/P1)κ/(κ−1) が成り立つ | × | 指数は (κ−1)/κ |
| κ＝1.4 の空気を 290 K から圧力比5で可逆断熱圧縮すると、約459 K になる | ○ | 290×50.286 |
| 同じ状態から同じ体積まで膨張させると、終わりの圧力は断熱のほうが等温より高い | × | 断熱は温度も下がるので低い |
| PVⁿ＝一定 で、n＝0 は等容変化、n＝∞ は等圧変化を表す | × | 逆。n＝0 が等圧、n＝∞ が等容 |
| 1＜n＜κ の可逆なポリトロープ膨張では、熱を受け取りながら温度が下がる | ○ | cn＜0。ΔT＜0 なので Q＞0 |
例題
空気 1 kg（κ＝1.4、cv 0.717 kJ/(kg·K)）を、290 K から圧力比5まで圧縮します。
①可逆断熱：T2＝290×50.4/1.4＝290×1.584＝459 K（186℃）。
②仕事：W＝cv(T1−T2)＝0.717×(290−459)＝−121 kJ。負なので外から受ける仕事。
③途中で冷やすポリトロープ（n＝1.3）：T2＝290×50.3/1.3＝290×1.450＝420 K。冷やした分だけ出口の温度が低い。
④桁を確かめる：空気の指数 (κ−1)/κ は約0.286。逆数の 3.5 を使うと 53.5≒280倍になり、ありえない温度が出る。
- シリンダ内の気体を急に圧縮すると、壁から熱が出入りする時間がないので断熱とみなせる。
- 断熱の関係：PVκ、TVκ−1、T/P(κ−1)/κ がどれも一定。
- 断熱の仕事は W＝mcv(T1−T2)＝(P1V1−P2V2)/(κ−1)。ポリトロープの仕事は (P1V1−P2V2)/(n−1) で、κ を n に替えた形。
- 熱の向きは Q＝mcn(T2−T1) で決まる。cn の正負（n と κ の大小）と、温度の上下（圧縮か膨張か）の両方を見る。
不可逆変化（絞り・混合）と混合気体 ── 理想気体の絞りでは温度は変わらない
| 変化 | 保たれる量 | 理想気体での結果 |
|---|---|---|
| 絞り膨張（弁・オリフィス） | エンタルピー（h1＝h2） | 温度は変わらず、圧力が下がって体積が増える |
| 断熱容器内の混合 | 内部エネルギー | 混合前の温度がそろっていれば温度は変わらない |
| 流れの混合 | エンタルピー | 混合後の温度は ΣmicpiTi/Σmicpi |
| 不可逆断熱膨張 | ― | 摩擦の熱で出口温度が可逆より高く、仕事は少ない |
| 混合気体（ダルトンの法則） | ― | 全圧＝分圧の和、体積割合＝分圧÷全圧 |
なぜ：絞りでは外と熱も仕事もやり取りせず、前後の流速もほぼ同じなので、エネルギー式から h1＝h2 が残ります。理想気体のエンタルピーは温度だけで決まるので、h が同じなら温度も同じです。下がった圧力は、仕事として取り出されずに摩擦と乱れで失われます。
| 問われる形 | 正誤 | ポイント |
|---|---|---|
| 理想気体を弁やオリフィスで絞り膨張させると、圧力が下がる分だけ温度も下がる | × | h1＝h2 で温度は変わらない |
| 不可逆断熱膨張の終わりの温度は、同じ圧力まで可逆断熱膨張したときより高い | ○ | 摩擦などの熱が気体に加わる |
| 断熱効率は、可逆断熱の温度降下を実際の温度降下で割った値 | × | 実際÷可逆。1より小さい |
| 理想気体の混合気体では、ある成分の体積割合はその成分の分圧÷全圧に等しい | ○ | ri＝Vi/V＝Pi/P |
| 温度が同じで圧力の違う2つの理想気体を断熱容器内で混ぜると、温度は下がる | × | 内部エネルギーが保たれ、温度は変わらない |
例題
空気（κ＝1.4）が 600 K からタービンで圧力 1/4 まで断熱膨張し、出口で 430 K でした。断熱効率を求めます。
①可逆なら：T2ad＝600×(1/4)0.286＝600×0.673＝404 K。
②断熱効率：ηad＝(T1−T2)/(T1−T2ad)＝(600−430)/(600−404)＝0.87。
③同じ圧力まで弁で絞るだけなら：温度は 600 K のままで、仕事は取り出せない。
④確かめる：実際の出口 430 K は、可逆の 404 K と入口の 600 K の間に入る。断熱効率は実際÷可逆なので、1より小さい。
- 摩擦・混合・絞りは元に戻せない変化（不可逆変化）。前後の状態量だけで計算できるものを扱う。
- 不可逆断熱変化をポリトロープ変化で近似すると、指数は膨張で n＜κ、圧縮で n＞κ になる。
- 混合後の圧力が変わらないのは、混合前の温度と圧力がすべて等しいときだけ。
- 燃焼ガスの全圧と体積割合から水蒸気の分圧が分かり、露点を知ることができる。
関連：蒸気の状態変化と絞り
出典：エネルギー管理士試験講座（省エネルギーセンター）熱分野Ⅱ 1編2〜3章、共通Ⅰ 3編2章
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